Ağırlıklı projektif uzaylar üzerindeki kodlar ve onların cebirsel değişmezleri

---

Tezin Türü: Doktora

Tezin Yürütüldüğü Kurum: Hacettepe Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik A.B.D., Türkiye

Tezin Onay Tarihi: 2024

Tezin Dili: Türkçe

Öğrenci: YAĞMUR ÇAKIROĞLU

Danışman: Mesut Şahin

Açık Arşiv Koleksiyonu: AVESİS Açık Erişim Koleksiyonu

Özet:

Ağırlıklı projektif uzay, projektif uzayın geometrik tanımını dikkate aldığımızda ve aşikâr olmayan ağırlıklara izin verdiğimizde ortaya çıkan geometrik ve cebirsel açıdan özgün yapılardır. Burada aşikâr olmayan ağırlık ile kasıt, tüm ağırlıkların 1 olmadığı durumdur. Tüm ağırlıkların $1$ olduğu durum projektif uzaya karşılık geldiği için aslında ağırlıklı projektif uzaylar, klasik projektif uzayların doğal genellemeleridir. Ağırlıklı projektif uzaylar, sonlu cisimler üzerinde ilginç lineer kod sınıfları oluşturmak için uygun ortamlar olarak kabul edilir. Bu kodlar, Ağırlıklı Projektif Reed-Muller kodları olarak bilinir. Klasik projektif Reed-Muller kodları (PRM kodları) Reed-Muller kodlarının (RM kodları) bir genişlemesidir. RM kodları, dijital iletişim kanallarında bilgiyi güvenilir bir şekilde iletmek için önemli bir rol oynayan hata düzeltme kodlarıdır. Klasik PRM kodları da iyi çalışılmış olup, çeşitli gerçek hayat uygulamalarında kullanılmaktadır. Bu tez çalışmasında, PRM kodlarının bir genişlemesi olan Ağırlıklı projektif Reed-Muller kodları üzerine çalışmalar yapılmıştır. Özel olarak, a,b pozitif ve aralarında asal tam sayılar olmak üzere P(1,a,b) biçimindeki ağırlıklı projektif uzaylar ailesi üzerindeki kodlar incelenmiş olup bu kodların parametreleri hesaplanmıştır. İlk olarak, $a=1$ durumu göz önünde bulundurulup F_q, q elemanlı sonlu bir cisim ve Y=P(1,1,b)(F_q), X=P(1,1,b) ağırlıklı projektif uzayının F_q-rasyonel noktalar kümesi olmak üzere, bu kümeye karşılık gelen C_{d,Y} kodunun temel parametreleri verilmiştir. Bu temel parametrelerden biri olan kodun boyutu ile ilgili sonuçlar cebirsel değişmezlerden Hilbert fonksiyonu vasıtasıyla elde edilmiştir. Bu sebepten dolayı, sırasıyla, bu uzaya karşılık gelen sıfırlayan ideal I(Y)'nin serbest çözülümü, Hilbert serisi ve Hilbert fonksiyonunun değerleri elde edilmiştir. Aşikâr (trivial) kodları eleyebilmek için önemli olan düzenlilik indeksi ve dolayısıyla düzenlilik kümesi de elde edilmiştir. Daha sonra, tüm bu sonuçlar ve yöntemlere ek olarak geometrik ve kombinatorik yöntemler de göz önüne alınarak X=P(1,a,b) uzayından elde edilen kodların temel parametreleri hesaplanmıştır. Bu uzaya karşılık gelen çokgenin kafes noktaları ile kodun boyutu arasındaki ilişkinin referans alınmasıyla birlikte kodun boyutunu hesaplamamızı sağlayan formüller verilmiştir. Ek olarak, literatürde ayakizi sınırı (footprint bound) olarak bilinen bir sınır vasıtasıyla, Gröbner baz teorisi de baz alınarak, bu uzaydan elde edilen kodun minimum uzaklığı için bir alt sınır verilmiştir. Bu uzaya karşılık gelen rasyonel noktalar kümesinin de düzenlilik kümesi verilmiş olup, düzenlilik indeksi elde edilmiştir. Dolayısıyla, en genelde X=P(1,a,b) ağırlıklı projektif uzayından elde edilen hesaplama kodlarının temel parametreleri ve ilişkili diğer geometrik ve cebirsel sonuçlar bu tez çalışması kapsamında elde edilmiştir.