Genelleştirilmiş splinelar teorisi
Tezin Türü: Yüksek Lisans
Tezin Yürütüldüğü Kurum: Hacettepe Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, MATEMATİK ANABİLİM DALI, Türkiye
Tezin Onay Tarihi: 2020
Tezin Dili: Türkçe
Öğrenci: GÖKÇEN DİLAVER
Asıl Danışman (Eş Danışmanlı Tezler İçin): Selma Altinok Bhupal
Açık Arşiv Koleksiyonu: AVESİS Açık Erişim Koleksiyonu
Özet:$R$ birimli değişmeli bir halka olsun. Köşelerinin kümesi $V$ ve kenarlarının kümesi $E$ olan $G = (V,E)$ sonlu çizgesini alalım. $G$ çizgesinin kenar elemanlarını $R$ halkasının sıfırdan farklı ideallerine eşleştiren $ \alpha : E \to \{R \text{'nin idealleri}\}$ fonksiyonuna kenar etiketleme fonksiyonu ve $(G, \alpha)$ sıralı ikilisine \emph{kenar etiketli çizge} denir. Bir $(G, \alpha)$ kenar etiketli çizgesinin herhangi iki komşu köşesinin üzerindeki etiketlerin farkı bu köşeleri bağlayan kenar üzerindeki idealinin elemanı oluyorsa ~$F \in R^{\mid V \mid}$ köşe etiketlemesine \emph{genelleştirilmiş spline} denir. $(G, \alpha)$ üzerinde tanımlı tüm genelleştirilmiş splineların kümesi $R_{(G,\alpha)}$ ile gösterilir. $R_{(G,\alpha)}$ kümesi halka ve $R$-modül yapılarına sahiptir. Biz bu tezde, genelleştirilmiş splineların modül yapısı üzerinde çalışacağız ve $[\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z}]_{(K_n,\alpha)}$'nın bir akışkan minimum üreteç kümesini bulacağız. \hfil \vspace{3mm} \ Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, klasik spline teorisi ve genelleştirilmiş spline teorisinin literatür taramasını yapacağız. \hfil \vspace{3mm} \ İkinci bölümde, çalışmalarımız için gerekli olan halka teorisi, modül teorisi ve çizge teorisindeki bazı tanım ve teoremleri vereceğiz. \hfil \vspace{3mm} \ Üçüncü bölümde, genelleştirilmiş spline teorisinin temel tanımlarını ve özelliklerini vereceğiz. Burada özellikle tam çizgeler üzerinde genelleştirilmiş spline modülleri üzerinde duracağız. Ayrıca özel bir spline olan akışkan sınıflarını tanımlayacağız ve bazı özelliklerini vereceğiz. \hfil \vspace{3mm} \ Dördüncü bölümde, $[\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z}]_{(K_n,\alpha)}$'nın bir akışkan minimum üreteç kümesini bulmak için iki farklı yöntem üzerinde çalışacağız. İlk yöntem olarak, Philbin ve arkadaşlarının [\ref{2017}] çalışmalarından yararlanacağız. Öncelikle $ \mathbb{Z} / p^k \mathbb{Z}$ halkası üzerinde geliştirdikleri algoritmayı kullanarak $[\mathbb{Z}/ p^k\mathbb{Z}]_{(K_n,\alpha)}$'nın bir akışkan minimum üreteç kümesini elde edileceğiz (Algoritma \ref{algoritma} bakınız). Daha sonra, aynı çalışmada $\mathbb{Z} / m \mathbb{Z}$ halkası üzerinde geliştirdikleri algoritmayı kullanarak $[\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z}]_{(K_n,\alpha)}$'nın bir akışkan minimum üreteç kümesini bulmak için bazı örnekler inceleyeceğiz (Algoritma \ref{algm} bakınız). Burada $\mid V \mid$ veya $m$ tamsayısının büyüklüğüne bağlı olarak $[\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z}]_{(K_n,\alpha)}$'nın bir akışkan minimum üreteç kümesinin bulunmasının oldukça zor olduğunu göreceğiz. Bu yüzden, $[\mathbb{Z}/ m\mathbb{Z}]_{(K_n,\alpha)}$ 'nın bir akışkan minimum üreteç kümesini bulmak için farklı bir yöntem vereceğiz. Burada öncelikle Altınok ve Sarıoğlan [\ref{2019}] çalışmalarından bazı sonuçları kendi çalışmalarımızda kullanmak amacıyla $\mathbb{Z} / m\mathbb{Z}$'e göre düzenleyeceğiz. Daha sonra $ \mathbb{Z} / m \mathbb{Z}$ üzerinde tam çizgeler için bir akışkan minimum üreteç kümesi elde edeceğiz.