A study on perfect and regular rings
Tezin Türü: Doktora
Tezin Yürütüldüğü Kurum: Hacettepe Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik A.B.D., Türkiye
Tezin Onay Tarihi: 2011
Tezin Dili: İngilizce
Öğrenci: PINAR AYDOĞDU
Asıl Danışman (Eş Danışmanlı Tezler İçin): AYŞE ÇİĞDEM ÖZCAN
Açık Arşiv Koleksiyonu: AVESİS Açık Erişim Koleksiyonu
Özet:Değişmeli olmayan halkaların ve bu halkalar üzerindeki modüllerin tarihi gelişimindeki başlangıç noktalarından biri bir K cismi üzerindeki cebirlerdir. Bu cebirler, bunların idealleri ve bu cebirler üzerindeki modüller K-vektör uzaylarıdır. Eğer bir K-vektör uzayı sonlu boyutlu ise bu modüller üzerinde bazı sonluluk özellikleri sağlanmaktadır. Emmy Noether, artan zincir koşulunu sağlayan değişmeli halkalar üzerinde çalışmıştır. Bu halkalar günümüzde, Noether halkalar olarak adlandırılmaktadır. Noether'in çalışmalarından etkilenen Emil Artin, Wedderburn'ün cebirler üzerindeki yapısal teoremlerini azalan zincir koşulunu sağlayan değişmeli olmayan halkalara genellemiştir. Literatürde bu halkalar, Artin halkalar olarak bilinmektedir.Von Neumann düzenli halkalar, 1930'larınn ortalarında, von Neumann tarafından operatör cebirlerin projeksiyon latislerini çalışmak için cebirsel bir çerçeve oluşturmak amacıyla tanımlanmıştır. Von Neumann'ın oluşturduğu bu cebirsel çerçeve projektif geometride kullanılmıştır.Artin ve (von Neumann) düzenli halkalar pek çok yazarın ilgi odağı olmuş ve araştırmacılar tarafından farklı şekillerde genelleştirilmiştir. Tam (perfect), yarıtam (semiperfect) ve yarıdüzenli (semiregular) halkalar bu genellemelerin bazılarıdır. Bu tezin amacı tam ve (von Neumann) düzenli halkalar ile bu halkaların bazı genellemelerini, bir altmodüle göre yarıdüzenli ya da yarıtam olan modüller ile bazı zincir koşulları göz önüne alınarak karakterize etmek; bir takım özel idealler ele alınarak tanımlanan yarıdüzenli ve yarıtam halkaları incelemektir.Bu tezin birinci bölümü, çalışmalarımızda ihtiyaç duyulan bazı temel kavramların ve yukarıda söz konusu olan halka ile modüllerin tanıtılmasına ayrılmıştır.Yarıdüzenli ve yarıtam halka kavramları, Yousif ve Zhou (2002) tarafından, bir I ideali göz önüne alınarakI-yarıdüzenli ve I-yarıtam halkalara genelleştirilmiştir. Nicholson ve Zhou (2005), I-yarıdüzenli veI-yarıtam halkaları karakterize etmek amacıyla kuvvetli yükselten (strongly lifting) ideal kavramıüzerinde çalışmışlardır. Nicholson ve Zhou'nun elde ettiği sonuçlara göre, bir R halkası I-yarıdüzenlidir (I-yarıtamdır) ancak ve ancak R/I halkası düzenlidir (yarıbasittir) ve I kuvvetli yükselten bir idealdir. I-yarıdüzenli ve I-yarıtam halka kavramları sağ-sol simetriktir.Alkan ve Özcan (2004-2006), bir modülün endomorfizmalar altında korunan bir U altmodülünü göz önüne alarak, I-yarıdüzenli ve I-yarıtam halkaların modül versiyonları olan U-yarıdüzenli ve U-yarıtam modülleri tanımlamışlar; I-yarıdüzenli ve I-yarıtam halkaların bazı özelliklerini modüllere taşımışlardır.Tezin ikinci bölümünde, kuvvetli yükselten ideal tanımına paralel olarak kuvvetli yükselten altmodül tanımı verilmiş ve bu altmodüllerin bazı özellikleri incelenmiştir. Bir R halkasının bir I ideali kuvvetli yükselten idealdir ancak ve ancak I, R sağ R-modülünün kuvvetli yükselten bir altmodülüdür.Yarı-projektif (self-projective) modüllerin dik toplananları kuvvetli yükselten altmodüllerdir. Ayrıca,yarı-projektif bir modülün sonlu değişim özelliğini (finite exchange property) sağlaması ileher altmoülünün kuvvetli yükselten olması denk ifadelerdir.Bu bölümde, I-yarıtam halkaların karakterizasyonunda önemli bir rol oynayan I-yarıgüçlü ideal kavramı modüllere taşınmıştır. U izdüşümler altında korunan bir altmodül ve M U-yarıgüçlü bir mod"{u}l ise M/U 0-güçlüdür. Bu ifadenin tersi U'nun kuvvetli yükselten bir altmodül olması durumunda doğrudur. M U-yarıgüçlü bir modül ise M'nin U içinde kapsanmayan her N altmodünün ayrıştırılamaz (indecomposable) olması ile yerel (local) olması denktir. U-yarıgüçlü modüller yardımıyla U-yarıtam modüller karakterize edilmiştir. U, izdüşümler altında korunan bir altmodül olmak üzere, kuvvetli yükselten altmodüller göz önüne alınarak, U-yarıdüzenli ve U-yarıtam modüllerin yeni karakterizasyonları elde edilmiştir.Bu bölümün son kısmında, her (projektif) modülü bir preradikale göre yarıtam olan halkalar incelenmiştir.Jacobson radikali Rad, Goldie torsion altmodülü ve delta gibi bazı özel preradikaller göz önünealınarak, her (projektif) modülü bu özel preradikallere göre yarıtam olan halkalarla ilgili bazı karakterizasyonlar elde edilmiştir.Xiao ve Tong'un tanımlamış olduğu genelleştirilmiş yarıdüzenli halkalar (generalized semiregular rings), yarıdüzenli ve AP-injektif halkaları kapsamaktadır. Aynı çalışmada, söz konusu yazarlar, yarıdüzenli ve AP-injektif halkalar için bilinen bazı sonuçları genellemişlerdir. Tezin üçüncü bölümünde, bazı (özel) idealler gözönünde bulundurularak tanımlanan halka ve modüller, bu genellemelerden yararlanılarak, incelenmiştir.Tezin bu bölümünde, F-yarıdüzenli modüllerle ilgili yeni karakterizasyonlar elde edilmiştir. Sağ yaklaşık I-yarıdüzenlü halkaların ne zaman I-yarıdüzenli olabileceği sorusu üzerinde durulmuş ve Xiao ile Tong'un elde ettiği bazı sonuçlar sağ yaklaşık I-yarıdüzenli halkalara genelleştirilmiştir. Bazı özel idealler göz onüne alınarak sağ yaklaşık I-yarıdüzenli halkalar ve bu halkalar arasındaki ilişkiler incelenmiştir.Bir modülün öz geniş altmodülleri ve sıfırdan farklı dar altmodülleri o modülün dik toplanan olmayan altmodülleridir. Bu durumda, eğer bir modül dik toplanan olmayan altmodüller üzerindeartan (azalan) zincir koşulunu sağlıyorsa, o zaman geniş ve dar altmodülleri üzerinde de artan (azalan) zincir koşulunu sağlar. Ancak, bu basit gözlemin tersinin her zaman doğru olmadığına dair değişmeli ve (von Neumann) düzenli bir halka örneğ vardır . Bir M R-modülünün geniş altmodülleri üzerinde artan zincir koşulunu sağlaması için gerek ve yeter koşul M/Soc(M)'nin Noether modül olmasıdır (Goodearl, 1972). Armendariz (1980), bu sonucun bir duali olarak, bir M R-modülünün geniş altmodülleri üzerinde azalan zincir koşulunu sağlaması ile M/Soc(M)'nin Artin olmasının denk ifadeler olduğunu ispatlamıştır. Varadarajan (1979) ise,bir M R-modülünün dar altmodülleri üzerinde artan zincir koşulunu sağlaması ile Rad(M)'nin Noether olmasının denk olduğunu göstermiştir. Bu sonucun duali Al-Khazzive Smith (1991) tarafından ispatlanmıştır. Yani, bir M R-modülü dar altmodülleri üzerinde azalan zincir koşulunu sağlar ancak ve ancak Rad(M) Artindir.Tezin dördüncü ve son bölümünde, dik toplanan olmayan altmodüller üzerinde azalan ve artan zincir koşullarını sağlayan modüller, bazı modül sınıfları ele alınarak, detaylı olarak incelenmiştir. Dik toplanan olmayan altmodüller üzerinde artan ya da azalan zincir koşullarını sağlayan modüller yardımıyla Noether ve Artin modüllerle ilgili bazı karakterizasyonlar elde edilmiştir. Bir M R-modülünün Noether (Artin) ya da yarıbasit olması için gerek ve yeter koşul M'nin dik toplanan olmayan altmodüller üzerindeartan (azalan) zincir koşulunu sağlamasıdır. R bir sağ Noether halka ise, bir M R-modülü dik toplanan olmayan sonlu üretilmiş altmodüller üzerinde artan zincir koşulunu sağlar ancak ve ancak M dik toplanan olmayan altmodüller üzerinde artan zincir koşulunu sağlar. Bir M modülü dik toplanan olmayan sonlu üretilmiş altmodüller üzerinde azalan zincir koşulunu sağlar ancak ve ancak M yerel Artin bir modüldür. Bir R halkasının sol tam olması ile devirli sağ idealler üzerinde azalan zincir koşulunu sağlamasının denk ifadeler oluşu iyi bilinen bir sonuçtur. Buradan, bir R halkası sol tamdır ancak ve ancak R,hem dik toplanan sağ idealler hem de dik toplanan olmayan devirli sağ idealler üzerinde azalan zincir koşulunu sağlar. Ayrıca, R halkası dik toplanan olmayan devirli sağ idealler üzerinde azalan zincir koşulunu sağlıyorsa R, Jacobson radikali sol T-üstelsıfır olan yarıdüzenli bir halkadır.