T0-metrikimsi uzayların simetrisizliğine yaklaşım teorileri
Tezin Türü: Doktora
Tezin Yürütüldüğü Kurum: Hacettepe Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, MATEMATİK ANABİLİM DALI, Türkiye
Tezin Onay Tarihi: 2021
Tezin Dili: Türkçe
Öğrenci: NEZAKAT JAVANSHIR
Danışman: Filiz Yıldız
Özet:Bu tezin amacı; metrik olmayan ve asimetrik uzaklık fonksiyonları olarak da bilinen T0-metrikimsilerin simetrisizliğine yani, T0-metrikimsilerin bir metrik olmaya ne kadar yakın ya da uzak olduğunu belirlemeye yönelik çeşitli özgün metriksel yaklaşım teorilerini, asimetrik ortama özgü biçimde inşa etmektir. Altı bölümden oluşan tez çalışmasının birinci bölümünde, dayandığı temel fikirlerden söz edilerek tezin konusuna giriş yapılmıştır. T0-metrikimsilerin bazı temel özellikleri ile bu ortamda geliştirilmiş olan çeşitli asimetrik yapılar ikinci bölümün ilk kısmında hatırlatılmış, sonrasında bu yapılardan elde edilen yeni sonuçlar sunulmuştur. Bu bölümün son kısmı ise, tüm özellikleri detaylarıyla incelenen ve tez boyu kullanacağımız çeşitli T0-metrikimsi uzay örneklerine adanmıştır. Metriğin simetri özelliği göz önüne alınarak, T0-metrikimsi uzayın noktalarının birbirlerine olan uzaklıklarına, bu noktalar arasındaki diğer noktalar ile kurulan simetrik-antisimetrik yollar aracılığıyla yaklaşım yapmayı sağlayan, daha önce tanımlanmış simetrik-antisimetrik bağlantılılık teorileri, bu tezin temel tabanını oluşturmaktadır. Tezin üçüncü bölümünde, öncelikle bu teorilerin detayları hatırlatılarak, ikinci kısımda, ilgili teoriler çerçevesinde elde ettiğimiz yeni sonuçlar ve örneklere değinilmiştir. Dördüncü bölümde, diğer bir özgün çalışma olarak; T0-metrikimsi uzaylar için simetrik ve antisimetrik bağlantılı genişleme teorileri inşa edilmiştir. Özellikle, her sınırlı T0-metrikimsi uzayın, bir simetrik bağlantılı tek-nokta genişlemeye ve her metrik uzayın, bir antisimetrik bağlantılı tek-nokta genişlemeye sahip oldukları kanıtlanmıştır. Ayraca, ``Her T0-metrikimsi uzay, antisimetrik bağlantılı genişlemeye sahip midir? " sorusu incelenmiş, ve farklı koşullar içeren teoremlerin yanı sıra, (ters) örnekler aracılığıyla bu soruya olumlu yanıtlar verilmiştir. Simetrisizliğe bir diğer yeni yaklaşım olarak, topolojik açıdan yaklaşım, beşinci bölümde ele alınmıştır. Bu çerçevede, simetrik ve antisimetrik bağlantılılık teorilerinin, T0-metrikimsinin simetrizasyon topolojisine göre doğal yerelleştirmeleri olan yerel simetrik ve yerel antisimetrik bağlantılılık teorileri inşa edilmiştir. Yerel (anti)simetrik bağlantılı uzayların diğer yapılar ile ilişkileri, altuzaylarda kalıtsallıkları, çarpımları, vs... gibi tüm özellikleri, ilk iki alt bölümde detaylarıyla araştırılmış ve örnekler yardımı-yla kullanışlı bir çok sonuca ulaşılmıştır. Bu bölümün son kısmında ise, T0-metrikimsiler üreterek, bunların asimetrik topoloji içerisindeki gelişiminde kilometre taşı olan asimetrik norm teorisi, T0-metrikimsilerin simetrisizliğine yaklaşmak amacıyla alternatif bir diğer çalışma ortamı olarak ele alınmıştır. Tezde elde edilen bulguların ve ileriye dönük çalışma konusu olabilecek açık soruların sunulduğu son bölüm ile tez tamamlanmıştır.