Simitli çeşitlem üzerinde üzerinde parametrik kodlar ve sıfırlayan idealler
Tezin Türü: Doktora
Tezin Yürütüldüğü Kurum: Hacettepe Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik A.B.D., Türkiye
Tezin Onay Tarihi: 2021
Tezin Dili: Türkçe
Öğrenci: ESMA BARAN ÖZKAN
Danışman: Mesut Şahin
Açık Arşiv Koleksiyonu: AVESİS Açık Erişim Koleksiyonu
Özet:X, split T_X simiti ile sonlu cisim üzerinde bir tam simpleksel simitli çeşitlem olsun. Bu tez çalışması, T_X simitinin matrislerle parametrize edilen alt gruplarından elde edilen parametrik kodlar üzerinedir. Bu parametrik kodların temel parametrelerini hesaplamak için bu alt grupların sıfırlayan ideallerinin üreteçlerini bulmak çok önemlidir. Tezin giriş bölümünde simitli kodların önemi ve literatür taraması verilmiştir. Tezde elde edilen sonuçlar özetlenmiştir. İkinci bölümde afin simitli çeşitlemler için gerekli olan afin çeşitlem alt yapısı oluşturulmuştur. Üçüncü bölümde simit tanımlandıktan sonra, simitin karakter ve bir parametreli alt grup kavramları verilmiş ve kafesler ile ilişkilendirilmiştir. Afin simit üzerinden afin simitli çeşitlem tanımı verildikten sonra afin simitli çeşiitlemlerin farklı inşaları anlatılmıştır. Rasyonel çokyüzlü konilerin temel konuları verilmiş ve afin simitli çeşitlemlerle nasıl ilişkilendirildiği açıklanmıştır. Dördüncü bölümde sonlu afin çeşitlemler izomorfizmler ile yapıştırılarak afin veya projektif olmayan çeşitlemler oluşturulmuştur. Bu bölüm bu çeşitlemlerin daha iyi kavranması için projektif çeşitlemler ile başlamıştır. Fan olarak isimlendirilen güçlü rasyonel çokyüzlü konilerin sonlu koleksiyonunun içerdiği konilere karşılık gelen afin simitli çeşitlemlerin nasıl yapıştırıldığı tarif edilmiş, böylece genel simitli çeşitlemler inşa edilmiştir. Bu bölümün esas ve son amacı genel simitli çeşitlemlerin noktalarının tıpkı projektif uzayda olduğu gibi homojen koordinatlar ile ifade edilebildiğini göstermektir. Verilen bir Q matrisi için, T_X simitinin Q matrisinin sütunları tarafından parametrelenen alt grubu T_{X,Q} olsun. Beşinci bölümde T_{X,Q} parametrik simitli kümesinin sıfırlayan idealinin üreteç kümesini belirleyen 3 metot verilmiştir. Geliştirilen ilk yöntemde eliminasyon teoriden faydalanılmıştır. Bu metot ile I(T_{X,Q}) sıfırlayan idealinin üreteçlerini hesaplamak için bir algoritma ve bu algoritmanın Macaulay2 kodu yazılmıştır. Aynı idealin üreteçlerini, bu ideali tanımlayan kafesin bazı ile bulunan başka bir metot elde edilmiştir. I(T_{X,Q}) = I_L olacak şekilde L kafesini bulmaya yönelik bir algoritma ve bu algoritmayı Macaulay2 programında uygulayan bir prosedür verilmiştir. Böylece I(T_{X,Q}) idealinin tam kesişim olup olmadığı kolayca kontrol edilmiştir. Bu bölümde son olarak bazı şartlar altında, L kafesini kavramsal olarak belirleyen bir yöntem elde edilmiş ve Nullstellensatz (Sıfır Yeri) Teoremi sonlu cisim üzerinde kanıtlanmıştır. Altıncı bölüm tezin esas amacı olan homojen polinom fonksiyonlarının T_{X,Q} kümesinde hesaplanmasıyla oluşturulan C_{\alpha_Q} parametrik kodları içermektedir. Bu amaca yönelik önce lineer kodlar konusu anlatılmıştır. C_{\alpha_Q} parametrik kodun boyutu T_{X,Q} parametrik simitli kümesinin dereceli Hilbert fonksiyonu ile hesap edildiğinden dereceli Hilbert fonksiyonların bazı özellikleri verilmiştir. T_{X,Q} alt grubunun parametrik tanımı kullanılarak, kodun uzunluğuna eşit olan T_{X,Q} alt grubunun eleman sayısını direk hesaplayan bir algoritma ve kodun minimum uzaklığı için bir alt sınır elde edilmiştir. Uygulama olarak, Hirzebruch yüzeyin simitten elde edilen parametrik kodların parametreleri hesaplanmıştır. Son olarak projektif uzaydan başka bir simitli çeşitleme geçmenin ayrıca T_{X} simiti yerine T_{X,Q} parametrik alt grubunda çalışmanın avantajını gösteren örnekler verilmiştir.