Kademeli halkalar, modüller ve çokkatlılık
Tezin Türü: Yüksek Lisans
Tezin Yürütüldüğü Kurum: Hacettepe Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik A.B.D., Türkiye
Tezin Onay Tarihi: 2017
Tezin Dili: Türkçe
Öğrenci: DAMLA ACAR
Asıl Danışman (Eş Danışmanlı Tezler İçin): BÜLENT SARAÇ
Açık Arşiv Koleksiyonu: AVESİS Açık Erişim Koleksiyonu
Özet:Tez çalışmamız, Cebir ve Geometri alanlarında önemli bir yere sahip Kademeli Halka ve Kademeli Modül kavramları ve bunlar ile ilgili ortaya atılmış bazı düşünceler üzerindeki araştırmalarımızı kapsamaktadır. Bir kademeli modül ile ilişkilendirilen önemli bir değişmez (invaryant) homojen bileşenlerin büyüklüğünü ölçen "Hilbert Fonksiyonu" olarak karşımıza çıkmaktadır. Tezimizde ayrıca Hilbert fonksiyonlarından okunan çokkatlılık kavramı da çeşitli yön ve boyutlarıyla ele alınmıştır. Tez çalışmamız beş bölümden oluşmaktadır. Giriş kısmında diğer bölümlerde kullanılan Halka ve Modül Teorisi'nin temel kavramlarına ve teoremlerine yer verilmiştir. İkinci bölümde kademeli halka ve modüller tanıtılarak homojen eleman ve ideal kavramları açıklanmıştır. Daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan özel kademeli halkalar ve modüller ele alınmıştır. Kademeli bir modülün bir homojen ayrışabilir alt modülünün, bütün bileşenleri homojen olan asıl ayrışıma sahip olup olmadığı sorusu incelenmiştir. Üçüncü bölümde çokkatlı sistemler ele alınarak, D. J. Wright tarafından ortaya atılan "genel çokkatlılık sembolü" tanıtılmış ve özellikleri incelenmiştir. C. Lech tarafından verilen, çokkatlılık sembolü için limit formülü elde edilmiştir. Dördüncü bölümde x1, …, xs, 1–dereceli homojen elemanlar olmak üzere R = R0[x1, …, xs] kademeli halkası üzerinde tanımlanan Hilbert ve Hilbert-Samuel fonksiyonları incelenmiştir. Ayrıca Hilbert fonksiyonları üzerinde verilen sonuçların bir uygulaması olarak P. Samuel'in çokkatlılık sembolü için verdiği bir diğer limit formülü elde edilmiştir. Ek olarak, Hilbert fonksiyonlarının Cebirsel Geometri'de çeşitlemlerin boyutlarını belirlemede nasıl kullanıldığı üzerinde durulmuştur. Son bölümde ise çokkatlılık kavramını homolojik açıdan ele almamızı sağlayan Koszul kompleksler ve özellikleri incelenmiştir. Bu bölümün en önemli sonucu olarak, Koszul kompleksleri yardımıyla tanımlanan Euler-Poincaré karakteristiğini kullanarak daha önce farklı biçimlerde tanımlanan çokkatlılık sembolleri arasındaki ilişki verilmiştir.