Optimizasyon ve Matlab Uygulamaları


Tezel Özturan A.

Nobel Yayın Dağıtım, Ankara, 2019

  • Basım Tarihi: 2019
  • Yayınevi: Nobel Yayın Dağıtım
  • Basıldığı Şehir: Ankara

Özet

Optimizasyon (en iyileme) kavramı bir probleme en iyi mümkün çözüm bulma sürecini tanımlar. Matematikte bu süreç genellikle bir fonksiyonun değerinin verilen kısıtlar altında maksimize veya minimize edilmesini ifade eder.  Optimizasyon yöntemleri matematik ve doğa bilimlerinde önemli yere sahiptir. Ayrıca mühendislik, ekonomi, finans problemlerinin çözümünde sıklıkla kullanılmaktadır. Bu kitap sürekli optimizasyon problemlerinin çözüm yöntemlerini ve uygulamalarını işlemek için yazılmıştır. Bu kitap beş ana bölümden oluşmaktadır:

İlk bölüm, optimizasyonun temelleri ile ilgilidir. Bu bölümde optimizasyon tarihi, çeşitli alanlardan uygulamalı optimizasyon problemleri, optimizasyonda karşımıza çıkan temel tanımlar, optimizasyon çeşitleri, çözümün varlığı, optimizasyon teorisinde önemli bir yeri olan konveks optimizasyon problemlerinden, konveks kümeler ve konveks fonksiyonlardan bahsedilmiştir.  

İkinci bölüm, doğrusal programlama problemleri ve çözüm yöntemlerini içermektedir. Bu bölümde doğrusal optimizasyon için grafik yöntemi, Simpleks Yöntemi, Büyük M Yöntemi ve İç bölge yöntemleri anlatılmıştır. Ayrıca doğrusal programlamada dualite teorisi ve duyarlılık analizine  de yer verilmiştir.

Üçüncü bölümde kısıtsız optimizasyon problemleri ve optimallik koşulları yer almaktadır. Bu bölümde tek değişkenli ve çok değişkenli fonksiyonlar için birinci ve ikinci mertebeden optimallik koşulları elde edilmiştir. Kısıtsız optimizasyon problemlerinin çözümünde kullanılan sayısal yöntemlerden Newton yönteminin yakınsaklığı incelenmiştir. Diğer sayısal yöntemler olarak En Dik İniş Yöntemi, Konjuge Gradyan Yöntemi, Kuazi-Newton Yöntemi ve Güvenli bölge Yöntemlerinden bahsedilmiştir. Ayrıca bu bölümde adım uzunluğu bulma stratejilerine yer verilmiştir.

Dördüncü bölümde, kısıtlı optimizasyon problemleri, optimallik koşulları ve çözüm yöntemleri üzerinde durulmuştur. Bu bölümde kısıtlı optimizasyon problemleri için birinci ve ikinci mertebeden optimallik koşulları elde edilmiştir. Konveks optimizasyon problemleri için global minimum yapan noktanın birinci mertebeden optimallik koşulunu sağlamasının yeterli olduğu gösterilmiştir. Kısıtlı optimizasyonda dualite teorisi (Lagrange dualite) ve konveks optimizasyonda dualite teorisine yer verilmiştir. Kısıtlı optimizasyon problemlerinin çözümü için kullanılan sayısal yöntemlerden Ceza ve Bariyer Yöntemleri ile Ardışık Kuadratik Programlama Yöntemi ele alınmıştır. Son olarak kısıtlı optimizasyon için bir diğer sayısal yöntem olarak bilinen iç bölge yönteminden bahsedilmiştir.

Beşinci bölümde optimizasyonun Matlab programında uygulamalarına yer verilmiştir. Bu bölümde ilk olarak Matlab programına giriş bilgileri yer almaktadır. Matlab ile yapılabilecek temel matematiksel işlemler, değişken tanımlama, matris ve vektörel işlemler, ilişkisel operatörler, grafik çizimi, fonksiyon tanımlama, sembolik hesaplamalar gibi temel konulara değinilmiştir. Daha sonra optimizasyonun Matlab uygulamalarına geçilmiştir. Matlab ile optimizasyon problemleri için grafik çözüm yöntemi, kısıtsız optimizasyon için En Dik İniş, Değişmiş Newton, BFGS Kuazi-Newton Yöntemlerinin Matlab uygulamaları yapılmıştır. Kısıtlı optimizasyon için grafik çözüm, Dış Ceza Yöntemi ve Ardışık Kuadratik Programlama yöntemlerinin Matlab uygulamaları verilmiştir. Son olarak Matlab Optimizasyon Toolbox içindeki hazır fonksiyonlar kullanılarak kısıtsız, kısıtlı ve doğrusal optimizasyon problemlerinin çözümlerine örnekler verilmiştir. 

 Kitabın Ek bölümünde kitapta kullanılmış olan kitap içinde verilmemiş olan bazı Matlab fonksiyonları verilmiştir.

 Her bölüm sonunda konu ile ilgili alıştırmalar ve cevapları yer almaktadır.