Modüllerin Dik Toplamlarının Zayıf-injektifliğinin Kapsamı

TÜBİTAK Projesi, 1001 - Bilimsel ve Teknolojik Araştırma Projelerini Destekleme Programı, 2023 - 2025

Proje Türü: TÜBİTAK Projesi
Destek Programı: 1001 - Bilimsel ve Teknolojik Araştırma Projelerini Destekleme Programı
Başlama Tarihi: Ekim 2023
Bitiş Tarihi: Ekim 2025

˙Injektif modüller, modül kategorilerindeki en önemli homolojik nesneler arasındadır. Hem Modül ve Halka Kuramında

hem de Homolojik Cebirde çok önemli bir role sahiptirler. Herhangi bir modülün injektifli ˘ gini belirlemek

oldukça zor olabilir. Modül Teorisindeki yeni bir e˘ gilim, bir özelli ˘ gin yalnızca tam olarak ne zaman kar¸sılandı

˘ gını de˘ gil, aynı zamanda belirli bir modülün o özelli ˘ gi tam olarak kar¸sılamıyorsa ne ölçüde kar¸sıladı ˘ gını ölçebilen

mekanizmalar geli¸stirerek modüllerin özelliklerinin incelenmesini geni¸sletir. Bu yakla¸sım, yalnızca özelli ˘ gi

kar¸sılayan modülleri de˘ gil, aynı zamanda kısmen veya hatta minimum düzeyde sa˘ glayan modülleri de dikkate

almaya izin verir. Son yıllarda bir modülün injektifli ˘ gini ölçmek için artan bir ilgi gören bir fikir olan injektiflik

bölgesi kavramı ortaya çıkmı¸stır. Bir modülün injektiflik bölgesi, belirli bir modülün injektiflik derecesini ölçmek

için tek mekanizma olmasa da iyi bir mekanizmadır. Bu mekanizmada modüller için ölçüm aracı portföylerdir.

E˘ger bir modül sınıfı bir modülün injektiflik bölgesi ise o sınıfa (injektif) portföy ve bir R halkası üzerindeki tüm

sa˘g R-modüllerin olası tüm (injektif) portföylerinin sınıfına da R halkasının (injektif) profili denir. Profil teorisi ile

ilgili çalı¸smalar Alahmadi vd., (2010) makalesi ile ba¸slamı¸stır. Son on iki yılda ise çe¸sitlilik içinde büyümektedir.

Alahmadi vd. (2010) makalesine bir halka üzerindeki çe¸sitli modüllerin injektiflik derecesini ölçen bir yapı olu¸sturmak

amaçlanmı¸stır. Aydo˘gdu ve López-Permouth, (2011); López-Permouth ve Simental-Rodríguez, (2012)

gibi daha sonra yapılan bazı çalı¸smalar injektifli ˘ gi ölçmek için alternatif yollara bakarak Alahmadi vd., (2010)

makalesinden farklılık göstermi¸stir. Er vd., (2011); Aydo˘gdu ve Saraç, (2013); Er vd., (2016); Saraç vd., (2020);

Alizade vd., (2022) gibi çalı¸smalar bir halkanın (injektif) profilinin o halkanın özelliklerini anlamaya çalı¸sırken

dikkate alınması gereken ilginç bir yapı oldu˘gu gerçe˘gine ı¸sık tutmu¸stur. Aydo˘gdu vd., (2021) makalesinde injektifli

˘ gin veya zayıf-injektifli ˘ gin kapsamını ölçmek için kullanılan iki farklı zayıf-injektiflik bölgesi tanımlanmı¸stır.

López-Permouth ve Saraç, (2022) makalesinde ise ilk kez kullanılan farklı bir bakı¸s açısıyla literatüre katkı

sa˘glanması hedeflenmi¸stir. Bir halkanın Noether olmasının belirli modüllerin injektifli ˘ gi tarafından belirlendi ˘ gi bilinmektedir

(bkz. Faith veWalker , 1962). López-Permouth ve Saraç, (2022) bu ölçünün mutlak olmadı˘ gını bunun

yerine, bu belirli modüllerin injektiflik bölgelerinin bir halkanın ne ölçüde Noether oldu˘gunu ölçmeye hizmet etti

˘ gini göstermi¸slerdir. Al-Huzali vd., (1992) makalesinde ise bir halkanın q.f.d. halka olmasının belirli modüllerin

zayıf-injektifli ˘ gi tarafından belirlendi ˘ gi gösterilmi¸stir. Projemiz kapsamında bir halkanın ne ölçüde q.f.d. oldu˘gunu

ölçmek için modüllerin küçük zayıf-injektiflik bölgeleri kullanılacaktır. ˙Ilk kez kullanılacak olan bu yöntem ile literatüre

ba¸ska bir yakla¸sım sunulması planlanmaktadır. Böylece son on iki yılda oldukça yaygın olarak kullanılan

profil teorisinin López-Permouth ve Saraç, (2022) makalesinde ba¸slatılan yeni bakı¸s açısına farklı halkalar için

katkı sunmanın yanısıra ara¸stırmacıların bundan sonraki çalı¸smalarının bu yönde ilerleyebilece˘ gini göstermek

hedeflenmektedir. Di˘ger taraftan López-Permouth ve Saraç, (2022) makalesinde bir R halkasının injektif profilindeki

portföyler katmanlar olarak dü¸sünülmü¸s ve injektiflik bölgesi bir A portföyü olan her modül ailesinin

dik toplamının da injektif bölgesi A portföyü oluyorsa A’ya kararlı portföy denmi¸stir ve ¸su soru sorulmu¸stur: R

halkasının injektif profilinin ortalarında bir yerde bu portföyün altında kalan her katmanın kararlı hale geldi ˘ gi bir

injektif portföy var mıdır? Bu soru evet olarak cevaplanmı¸s ve bu injektif portföye Noether e¸sik denmi¸stir. Bu fikirler

do˘ grultusunda projemizde bir R halkasının küçük zayıf-injektiflik profilinin ortalarında bir yerde bu portföyün

altında kalan her katmanın küçük zayıf-injektif olarak kararlı oldu˘gu bir küçük zayıf-injektif portföyün var olup

olmadı˘ gı sorusuna cevap aranacaktır. Ayrıca López-Permouth ve Saraç, (2022) makalesinde injektif profilde

injektif portföyü kararlı olan modüllerin sadece fakir modüller oldu˘gu halkalar da dü¸sünülmü¸s bu halkalara uçucu

(volatile) halkalar denmi¸stir. Proje-mizde zayıf-injektif olarak uçucu halkalar tanımlanarak özellikleri ara¸stırılacak

ve örnekler verilecektir. Dahası bir halkanın uçuculu˘gu zayıf-injektiflik profili kullanılarak incelenecek böylece

López-Permouth ve Saraç, (2022) makalesinde halkanın uçuculu˘gunun incelenmesi i¸sleminde injektiflik profilinin

kullanılması yöntemine, halkanın uçuculu˘gunu belirlemek için küçük zayıf-injektiflik profilini kullanarak alternatif

bir yöntem elde edilecektir.

Anahtar Kelimeler: Küçük zayıf-injektiflik bölgesi, küçük zayıf-injektif portföy, küçük zayıf-injektiflik profili, küçük

zayıf-injektif olarak uçucu halka.