Bell Tipinde Toplanabilme Metodunun Lineer Olmayan Operatörlere Uygulanması Ve Görüntü İşleme

---

Gökçer T. Y., Duman O., ASLAN İ. (Yürütücü)

TÜBİTAK Projesi, 2020 - 2022

• Proje Türü: TÜBİTAK Projesi
• Başlama Tarihi: Mart 2020
• Bitiş Tarihi: Mart 2022

Proje Özeti

Bu projede konvolüsyon ve Mellin tipindeki integral operatörleri üzerinde çalışılacaktır. Bilindiği üzere konvolüsyon ve Mellin operatörleri, yaklaşımlar teorisinin yanı sıra görüntü işleme (image processing), optik fiziği, sinyal analizi, sismik mühendisliği gibi konularda oldukça kullanışlıdır. Diğer taraftan, toplanabilme metotları yaklaşımlar teorisinde klasik yakınsamanın sağlanamadığı durumlarda alternatif çözümler sunan bir metottur. Literatürde kuvvet serileri metodu, Abel metodu, Borel metodu, Cesaro anlamda toplanabilirlik, hemen hemen yakınsaklık (almost convergence) gibi birçok toplanabilme metotları vardır. Fakat Bell metodu diğerleriyle kıyaslandığında oldukça genel bir metottur ve Cesaro toplanabilirlik, hemen hemen yakınsaklık, dereceli yakınsaklık Bell metodunun özel halleridir. Diğer metotlar gibi Bell metodunun da pozitif lineer operatörler üzerine birçok başarılı uygulaması olmasına rağmen lineer olmayan operatörler üzerinde proje yürütücüsünün kendi çalışmaları dışında başka çalışmalara rastlanmamıştır. Dolayısıyla Bell tipinde toplanabilmenin uygulama alanlarında büyük bir eksiklik göze çarpmaktadır. Bu proje önerisinin temel amacı literatürdeki bu boşluğu doldurmak olacaktır. Bu sayede hem yaklaşımlar teorisine ciddi bir katkı sağlanmış olacak hem de proje yürütücüsünün kariyer gelişimini olumlu yönde etkileyecektir. Burada elde edilecek sonuçlar, yürütücünün doktora tezindeki çalışmalarını da daha ileriye taşıyacaktır. Bu proje önerisinde teorik yaklaşım sonuçlarının yanı sıra bunların gerçek hayattaki uygulamalarına da yer verilmesi planlanmaktadır.

 

Görüntü işleme teknikleri sadece mühendislerin değil matematikçilerin de uygulama alanları arasında yerini almıştır. Özgün değer kısmında belirtildiği üzere yaklaşım yaklaşımlar teorisi yardımıyla görüntüler üzerindeki çözünürlükler artırılıp, netleştirmeler yapılmıştır. Bu sayede ultrason ile çekilen filmlerin hastalık teşhisinde yeterli olmadığı anlarda ve bilgisayar tomografilerinin netleştirilmesinde görüntü işleme konusu devreye girip teşhisin koyulmasını kolaylaştırmaktadır. Bunun gibi farklı alanlarda da pek çok uygulamaları bulunmaktadır. Bu projenin bir diğer amacı da yapacağımız araştırmanın “ne işe yarıyor?” sorusuna somut örnekler verebilmektir.

 

Daha sonra detaylandıracağımız temel araştırma sorularını şimdilik aşağıdaki üç başlık altında toplayabiliriz:

 

1.      Toplam sürecinin lineer olmayan operatörlere uygulanabilirliği,

2.      Mutlak sürekli fonksiyonların karakterizasyonu,

3.      Yaklaşımlar teorisinin görüntü işleme üzerine uygulaması.

 

İlk problemde konvolüsyon ve Mellin tipindeki lineer olmayan operatörler ele alınacaktır. Hem tek hem de çok boyutta incelenen konvolüsyon tipindeki operatörler genelleştirilip farklı yakınsaklık metotları altında yaklaşımlar elde edilmesi hedeflenmiştir. Mellin tipinde verilen ve Lebesgue ölçüsü altında çalışılan operatörler için ise Haar ölçüsü baz alınınacaktır. Çok boyuttaki durumda da yaklaşım özellikleri araştırılacak ve hata oranları incelenecektir.

 

İki numaralı problemde birinci bölümden elde edilmesi planlanan yaklaşımlar yardımıyla, mutlak süreklilik kavramlarının genelleştirilmesi ve bunları sağlayan çekirdek fonksiyon dizisi örnekleri araştırılacaktır.

 

Son problemde yapılan yaklaşımların, görüntü işleme konusu üzerinde uygulaması incelenip daha yüksek çözünürlüklü görüntüler elde edilmesi hedeflenmektedir. Bu sayede konunun günlük hayata dair bir uygulaması da yapılmış olacaktır.